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转自http://blog.csdn.net/icvpr/article/details/12342159
局部敏感哈希(Locality-Sensitive Hashing, LSH)方法介绍
本文主要介绍一种用于海量高维数据的近似最近邻快速查找技术——局部敏感哈希(Locality-Sensitive Hashing, LSH)，内容包括了LSH的原理、LSH哈希函数集、以及LSH的一些参考资料。
一、局部敏感哈希LSH
在很多应用领域中，我们面对和需要处理的数据往往是海量并且具有很高的维度，怎样快速地从海量的高维数据集合中找到与某个数据最相似（距离最近）的一个数据或多个数据成为了一个难点和问题。如果是低维的小数据集，我们通过线性查找（Linear Search）就可以容易解决，但如果是对一个海量的高维数据集采用线性查找匹配的话，会非常耗时，因此，为了解决该问题，我们需要采用一些类似索引的技术来加快查找过程，通常这类技术称为最近邻查找（Nearest Neighbor,AN），例如K-d tree；或近似最近邻查找（Approximate Nearest Neighbor, ANN），例如K-d tree with BBF, Randomized Kd-trees, Hierarchical K-means Tree。而LSH是ANN中的一类方法。
我们知道，通过建立Hash Table的方式我们能够得到O(1)的查找时间性能，其中关键在于选取一个hash function，将原始数据映射到相对应的桶内（bucket, hash bin），例如对数据求模：h = x mod w，w通常为一个素数。在对数据集进行hash 的过程中，会发生不同的数据被映射到了同一个桶中（即发生了冲突collision），这一般通过再次哈希将数据映射到其他空桶内来解决。这是普通Hash方法或者叫传统Hash方法，其与LSH有些不同之处。
局部敏感哈希示意图（from: Piotr Indyk）
LSH的基本思想是：将原始数据空间中的两个相邻数据点通过相同的映射或投影变换（projection）后，这两个数据点在新的数据空间中仍然相邻的概率很大，而不相邻的数据点被映射到同一个桶的概率很小。也就是说，如果我们对原始数据进行一些hash映射后，我们希望原先相邻的两个数据能够被hash到相同的桶内，具有相同的桶号。对原始数据集合中所有的数据都进行hash映射后，我们就得到了一个hash table，这些原始数据集被分散到了hash table的桶内，每个桶会落入一些原始数据，属于同一个桶内的数据就有很大可能是相邻的，当然也存在不相邻的数据被hash到了同一个桶内。因此，如果我们能够找到这样一些hash functions，使得经过它们的哈希映射变换后，原始空间中相邻的数据落入相同的桶内的话，那么我们在该数据集合中进行近邻查找就变得容易了，我们只需要将查询数据进行哈希映射得到其桶号，然后取出该桶号对应桶内的所有数据，再进行线性匹配即可查找到与查询数据相邻的数据。换句话说，我们通过hash function映射变换操作，将原始数据集合分成了多个子集合，而每个子集合中的数据间是相邻的且该子集合中的元素个数较小，因此将一个在超大集合内查找相邻元素的问题转化为了在一个很小的集合内查找相邻元素的问题，显然计算量下降了很多。
那具有怎样特点的hash functions才能够使得原本相邻的两个数据点经过hash变换后会落入相同的桶内？这些hash function需要满足以下两个条件：
1）如果d(x,y) ≤ d1， 则h(x) = h(y)的概率至少为p1；
2）如果d(x,y) ≥ d2， 则h(x) = h(y)的概率至多为p2；
其中d(x,y)表示x和y之间的距离，d1 < d2， h(x)和h(y)分别表示对x和y进行hash变换。
满足以上两个条件的hash functions称为(d1,d2,p1,p2)-sensitive。而通过一个或多个(d1,d2,p1,p2)-sensitive的hash function对原始数据集合进行hashing生成一个或多个hash table的过程称为Locality-sensitive Hashing。
使用LSH进行对海量数据建立索引（Hash table）并通过索引来进行近似最近邻查找的过程如下：
1. 离线建立索引
（1）选取满足(d1,d2,p1,p2)-sensitive的LSH hash functions；
（2）根据对查找结果的准确率（即相邻的数据被查找到的概率）确定hash table的个数L，每个table内的hash functions的个数K，以及跟LSH hash function自身有关的参数；
（3）将所有数据经过LSH hash function哈希到相应的桶内，构成了一个或多个hash table；
2. 在线查找
（1）将查询数据经过LSH hash function哈希得到相应的桶号；
（2）将桶号中对应的数据取出；（为了保证查找速度，通常只需要取出前2L个数据即可）；
（3）计算查询数据与这2L个数据之间的相似度或距离，返回最近邻的数据；